La fonction de straggling. Distribution de la perte d’énergie des particules chargées dans des couches de silicium

La nature statistique du processus d’ionisation lors du passage d’une particule chargée rapide à travers la matière entraîne de fortes fluctuations de la perte d’énergie (Δ) dans les absorbeurs dont l’épaisseur est faible par rapport au parcours de la particule.

Le nombre de paires électron-trou (J) est lié à Δ par l’expression J=Δ/P, où P est un facteur de proportionnalité qui, pour le silicium, vaut 3,68 eV. Δ et J sont tous deux des grandeurs stochastiques. Les fonctions de probabilité f(Δ) et φ(J) sont généralement appelées distribution de perte d’énergie ou fonctions de straggling.

Elles peuvent être décrites schématiquement par la position du maximum de la fonction de distribution (Δp) et la largeur totale à mi-hauteur (w), Δp se situant à une valeur plus faible que la perte d’énergie moyenne obtenue par Bethe-Bloch ‹Δ› (Fig. 1).

(cliquez ici pour télécharger le calculateur Bethe-Bloch en C++).

La perte d’énergie moyenne : Bethe-Bloch

Les collisions sont bien sûr aléatoires, mais leur nombre par longueur de trajet macroscopique est généralement grand, ce qui explique pourquoi on utilise généralement des grandeurs moyennes. L’une des grandeurs les plus importantes est la perte d’énergie moyenne par unité de longueur, souvent appelée pouvoir d’arrêt. De nombreuses théories ont été développées durant la première moitié du XXe siècle pour caractériser cette grandeur. Le calcul quantique correct fut décrit pour la première fois, vers 1932, par Hans Bethe, Bloch et d’autres auteurs, qui donnèrent la formule :

avec :

2π Na re^2 mec^2= 0,1535 MeVcm2/g	β : v/c de la particule incidente
re : rayon de l’électron (2,817 x 10-13 cm)	ρ : densité du matériau absorbant
Me : masse de l’électron	γ :
Na : nombre d’Avogadro	δ : correction de densité
Z : numéro atomique du matériau absorbant	C : correction de couche
A : masse atomique du matériau absorbant	I : potentiel moyen d’excitation
z : charge de la particule incidente	Wmax : énergie maximale transférable en une seule collision

W_max peut être calculé à l’aide de l’équation :

où : s=m_e/M et η=βγ.

L’énergie moyenne d’excitation I dépend de la fréquence orbitale du matériau absorbant, et il n’existe pas de formule précise pour calculer cette valeur. Cependant, des valeurs de I pour plusieurs matériaux ont été déduites de mesures et sont répertoriées par l’ICRU. Les deux derniers termes entre parenthèses de la formule sont les corrections de densité et de couche ; ils ont été insérés dans la formulation originale de Bethe-Bloch afin d’améliorer la prédiction de la formule sur certaines plages, par rapport aux résultats expérimentaux. La correction de densité tient compte de l’effet du champ électrique produit par les particules entrantes et est plus marquée à haute vitesse. La correction de couche, en revanche, se remarque lorsque la vitesse de la particule incidente est comparable à la vitesse orbitale des électrons liés du matériau cible.

À cette faible énergie, d’autres effets complexes entrent en jeu et la formule de Bethe-Bloch cesse d’être valable. Lorsque la vitesse est comparable à celle des électrons orbitaux du matériau cible, la perte d’énergie atteint un maximum dépendant du signe de la charge (effet Barkas), puis chute nettement à plus basse énergie. À plus haute énergie (c’est-à-dire à vitesse plus élevée), dE/dx est dominé par le facteur 1/β² et décroît jusqu’à β ≅ 0,96c, où un minimum est atteint. Une particule à cette énergie est généralement désignée sous le nom de particule au minimum d’ionisation (MIP).

En augmentant l’énergie, les pertes n’augmentent plus autant en raison de l’effet de densité (plateau de Fermi), jusqu’à ce que les composantes radiatives, comme le rayonnement Cherenkov et le Bremsstrahlung, deviennent significatives. Le rayonnement Cherenkov apparaît lorsqu’une particule chargée se déplace, dans un milieu, plus vite que la vitesse de la lumière dans ce même milieu (βc>c/n, avec n : indice de réfraction) : il se crée alors une onde de choc électromagnétique, tout comme un avion dépassant la vitesse du son.

En particulier pour les particules légères, comme les électrons ou les positrons à très haute énergie, l’émission de Bremsstrahlung constitue le principal mécanisme de perte d’énergie. La déviation et la décélération de la particule dues à l’interaction avec les noyaux de la cible provoquent l’émission de photons ; cet effet est d’autant plus important que la particule est légère (la probabilité d’émission par Bremsstrahlung varie en effet comme l’inverse du carré de la masse de la particule) et que le numéro atomique du matériau cible est élevé. Tandis que le taux de perte par ionisation croît de façon logarithmique avec l’énergie, les pertes par Bremsstrahlung croissent linéairement et dominent à haute énergie (à peine quelques dizaines de MeV suffisent dans la plupart des matériaux, pour les électrons). La figure 1 ci-dessous montre la perte d’énergie moyenne (le pouvoir d’arrêt) pour des muons positifs dans le cuivre, de quelques centaines de keV à quelques dizaines de TeV.

Correction de Bethe-Bloch pour les électrons et les positrons

Les électrons et les positrons nécessitent une attention particulière. D’abord, leur faible masse implique la possibilité d’une déviation importante dès une seule collision ; de plus, les collisions se produisent entre particules identiques, si bien que le calcul doit tenir compte de leur indiscernabilité. Il en résulte que l’énergie maximale transférable en une seule collision devient :

avec T_e : énergie cinétique de la particule incidente, et la formule de Bethe-Bloch peut se réarranger sous la forme :

avec :

où l’indice « + » désigne les positrons et « – » les électrons.

De la moyenne à la distribution : Landau et Vavilov

Landau et Vavilov ont effectué des calculs théoriques sur cette distribution. Chacune de ces solutions possède cependant un domaine d’application différent, et le paramètre distinctif dans toutes ces théories est le rapport k = ‹Δ› / E_max où E_max est l’énergie maximale transférable en une seule collision.

Landau résolut ce problème pour toutes les situations où k ≤ 0,01, en déduisant la distribution de perte d’énergie attendue par résolution d’une équation de transport intégrale :

Ici, f(x,Δ) représente la probabilité que la particule incidente perde une quantité d’énergie Δ en traversant une couche d’épaisseur x. W(E)dE désigne la probabilité, par unité de longueur de trajet, qu’une collision transfère une énergie E à un électron du matériau.

La fonction W(E)dE n’est généralement pas connue, mais Landau parvint à en déduire une solution approchée en utilisant la section efficace de l’électron libre (Rutherford) :

avec

keV μm-1 dans le silicium.

Dans l’équation précédente, z est la charge de la particule incidente, Z et A sont le numéro atomique et la masse atomique du matériau, et ρ est la densité. La distribution de Landau est donc donnée par [1]

avec φ(λ) une fonction universelle ne dépendant que de la variable λ

et

où C_E est la constante d’Euler, égale à 0,5772. La distribution de Landau, fL(Δ), est asymétrique, avec une queue s’étendant jusqu’à Emax, un maximum pour λ=-0,229 et w=4,018ξ. Cette queue est principalement due aux rayons δ émis rapidement. La perte d’énergie correspondant au maximum de la fonction fL(Δ) est la perte d’énergie la plus probable [2]

où I est le potentiel moyen d’excitation et δ la correction de densité. (cliquez ici pour télécharger le Landau Fit en Matlab)

Par la suite, Vavilov [3] établit une solution améliorée tenant compte du spin de la particule incidente et introduisant les limites physiques issues de Emax. Pour la section efficace de collision, Vavilov utilisa la forme

Vavilov démontra également que sa solution tend vers la fonction de Landau pour k ≤ 0,01, région où ‹Δ› est approximé à ξ. Par exemple, pour des détecteurs au silicium de 300 μm, la convergence est déjà atteinte pour des protons d’impulsion supérieure à 550 MeV/c. Pour k > 10, le nombre de collisions est très grand et, par le théorème central limite, la fonction de Vavilov coïncide avec une distribution gaussienne, dont l’écart-type est

Corrections de liaison : pourquoi la largeur mesurée est plus grande

Les solutions de Landau-Vavilov ont été établies en supposant que les diffusions se produisent sur des électrons quasi libres. Elles négligent donc les énergies de liaison électronique. Cette hypothèse n’est une approximation valable que pour les collisions rapprochées.

D’autres corrections à la théorie, tenant compte du fait que les électrons du matériau ne sont pas libres, ont été tentées par Blunck et Leisegang [4], Shulek [5] et Bichsel [6].

Dans le cas des milieux solides, ces calculs visent l’observation expérimentale selon laquelle, si la perte d’énergie la plus probable s’accorde plutôt bien avec la prédiction théorique, la largeur de la distribution est plus grande que prévu et ne peut être attribuée ni au bruit électronique ni à une résolution imparfaite. Cet effet est particulièrement marqué pour des absorbeurs très minces [7], de l’ordre de quelques centaines de μm ou moins. La distribution de perte d’énergie modifiée peut être améliorée en utilisant une section efficace modifiée tenant compte de l’énergie de liaison électronique et de la structure en couches atomiques. La fonction de straggling en énergie modifiée peut s’exprimer comme :

Autrement dit, le spectre d’énergie observé expérimentalement peut être calculé en convoluant la distribution de Landau avec une distribution normale de variance δ2. Le résultat de la convolution est une distribution plus large, dont la valeur de pic est généralement légèrement supérieure à celle prédite par la théorie de Landau. À partir des observations expérimentales, la valeur de δ2 a été estimée :

où f_i est la fraction d’électrons dans cette couche. Dans le silicium, cette valeur s’approche de

La distribution de perte d’énergie améliorée qui en résulte a une largeur globale w, approximativement donnée par :

√[(4,018 ξ )^{^2} + ( 5,56 δ₂ )]

À mesure que l’épaisseur du matériau diminue, δ2 devient de plus en plus le terme dominant qui détermine la largeur globale w de la fonction de straggling. À l’inverse, on ne s’attend pas à ce qu’il produise un élargissement supplémentaire de la distribution pour de grandes épaisseurs.

Par exemple, pour un détecteur au silicium de 300 μm d’épaisseur, on obtient ξ ~ 5,34 keV, √(δ₂) ~ 5,76 keV, et une largeur globale w de 25,4 keV (soit 18 % de plus que la largeur de Landau), pour une particule relativiste avec β~ 1 et z = 1, en accord avec les données expérimentales.

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Références

1. L. Landau , On the Energy Loss of Fast Particles by Ionization, J. Phys. USSR 8 (1944) 201.
2. Particle Data Group PDG, Passage of particles through matter, Nuclear and Particle Physics, vol. 33, no. 27, pp. 258-270, July 2006.
3. P.V.Vavilov, Ionization losses of high energy heavy particles, Soviet Physics JETP, 5:749, 1957.
4. Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers , JINST, 6 P06013 doi: 10.1088/1748-0221/6/06/P06013
5. Blunck and S. Leisegang, Zum Energieverlust schneller Elektronen in d�nnen Schichten, Z. Physik 128 (1950) 500.
6. P. Shulek at al., Fluctuations of Ionization Loss, Sov. J. Nucl. Phys 4 (1967) 400.
7. H. Bichsel, Straggling of Heavy Charged Particles: Comparison of Born Hydrogenic-Wave-Function Approximation with Free-Electron Approximation, Phys. Rev. B1 (1970) 2854
8. H. Esbensen at al., Random and channeled energy loss in thin germanium and silicon crystals for positive and negative 2-15-GeV/c pions, kaons, and protons, Phys. Rev. B18 (1978) 103939
9. William R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments. Berlin and Heidelberg: Springer, 1987.
10. Claude Leroy, Pier Giorgio Rancoita, Principles of Radiation Interaction in Matter and Detection. Singapore: World Scientific Publishing, 2004.
11. International Commission on Radiation Units and Measurements. [Online]. http://www.icru.org/
12. S. M. Sze, Kwok Kwok Ng, Physics of Semiconductor Devices. John Wiley & Sons, 2007.

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