Une particule chargée qui traverse un capteur au silicium ne dépose pas la quantité d’énergie moyenne. Elle dépose ce qu’une poignée de collisions aléatoires lui donne — généralement moins que la moyenne, parfois beaucoup plus. Concevoir une puce de lecture autour de la moyenne, c’est mal régler le seuil sur presque chaque événement.
C’est là tout l’intérêt pratique de la distribution de Landau. Bethe-Bloch donne la perte d’énergie moyenne ; Landau, en 1944, a montré à quel point les événements individuels se dispersent autour de cette moyenne — et pourquoi elle est le mauvais chiffre sur lequel construire son électronique.
La formule de Bethe-Bloch est bien connue pour décrire la perte d’énergie moyenne des particules chargées traversant la matière, tandis que Landau a décrit théoriquement, en 1944 [1], les fluctuations de la perte d’énergie par ionisation d’une particule chargée dans une fine couche de matière. Cette description aboutit à la distribution de Landau, une fonction de densité de probabilité universelle et asymétrique.
Pourquoi le pic se situe en dessous de la moyenne
En réalité, si une particule ne s’arrête pas dans le capteur, la réponse se disperse autour du pic de la distribution, avec une probabilité non négligeable de signaux forts. À cause de cette queue, la valeur moyenne dépasse la valeur la plus probable de la distribution. La variation autour du maximum de cette distribution augmente à mesure que le capteur s’amincit. Lors de la conception du circuit de lecture de ces dispositifs, il faut donc tenir compte de la gamme dynamique.
À quoi cela ressemble dans un capteur de 300 µm
Mettons des chiffres dessus. Pour le silicium au point d’ionisation minimale, Bethe-Bloch donne une perte moyenne d’environ 1,664 MeV·cm²/g (Particle Data Group), soit environ 116 keV pour un capteur de 300 µm. La perte la plus probable — le pic que l’on enregistre réellement événement après événement — n’est que d’environ 82 keV. Cet écart de 34 keV n’est ni du bruit ni un défaut de calibration. C’est le straggling d’ionisation : quelques collisions violentes tirent la moyenne vers la queue, tandis que la plupart des événements s’accumulent près du pic.
Avec environ 3,6 eV par paire électron-trou, ce pic à 82 keV libère environ 22 000 paires, et c’est ce signal autour duquel une puce de lecture doit être conçue. J’ai mesuré directement la perte d’énergie la plus probable dans des couches de silicium très minces (mesure de la perte d’énergie dans du silicium mince), et les chiffres se sont vérifiés expérimentalement.
Source : Particle Data Group, dE/dx|min = 1,664 MeV·cm²/g dans le silicium ; ρ = 2,33 g/cm³.
Reference tool
Energy-loss calculator: mean, most probable value and straggling
Your particle, your absorber. Mean rate from the Bethe formula with the density-effect correction, the most probable loss from the Landau theory as given in the PDG review, and the straggling curve for your case.
The calculator needs JavaScript. The reference values below are computed by the same code.
Method, constants and limits
Method. Mean rate: Bethe formula, ⟨−dE/dx⟩ = K z² (Z/A) β⁻² [ ½ ln(2mec²β²γ²Tmax/I²) − β² − δ/2 ], without shell or Barkas terms (they exceed a few percent only below βγ ≈ 0.1). Most probable loss: Δp = ξ [ ln(2mec²β²γ²/I) + ln(ξ/I) + 0.200 − β² − δ ], ξ = (K/2) z² (Z/A) x/β². Regime from κ = ξ/Tmax: Landau below 0.01, Vavilov to 10, Gaussian above. The Landau density is evaluated by direct quadrature of its defining integral, not an approximation. Both formulas and their notation follow the Particle Data Group review Passage of particles through matter.
Electron-hole pairs (silicon only). Pairs per micrometre = energy deposited per micrometre ÷ w, w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature, e.g. Knoll, Radiation Detection and Measurement). Two figures are reported, not one, because they answer different questions: the mean rate uses ⟨dE/dx⟩ and does not depend on thickness (≈108/µm for a minimum-ionising particle in silicon); the most probable rate uses Δp at the thickness entered above and does depend on it, because Δp is not linear in thickness — it is what a thin detector actually reads out on a single pass, the same Landau/straggling quantity this tool otherwise reports in keV. Quoting only the mean figure for a thin-detector signal is a common error this tool deliberately avoids.
Constants. I, density, Z/A and δ(βγ) per material from NIST ESTAR (SRD 124); K = 4πNAre²mec² and mec² from CODATA; particle masses from the PDG; w = 3.62 eV for silicon as above — not an ESTAR/XCOM quantity, typed directly in the engine with its source. The Bethe engine reproduces NIST PSTAR proton stopping powers to within 1% from 50 MeV to 10 GeV in every material offered; the deviations are on record in the repository tests.
Limits. Heavy charged particles only (no electrons). βγ from 0.1 to about 2×10⁴. Thin absorbers: when the mean loss exceeds 10% of the kinetic energy the constant-velocity assumption fails and the result says so. The e-h pair figures are silicon-only: no sourced w is offered for any other material.
Reference values: a minimum-ionising muon in silicon
Muon at βγ = 3.5 (369.8 MeV/c), where the mean rate in silicon is at its minimum. Computed by the calculator above. The last two columns are the e-h pair yield per micrometre (w = 3.62 eV): the most-probable column changes with thickness because Δp is not linear in x; the mean column does not.
| Thickness (µm) | Most probable loss Δp (keV) | Mean loss (keV) | FWHM (keV) | Δp / mean | κ | e-h pairs/µm (most probable) | e-h pairs/µm (mean) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 11.31 | 19.33 | 3.876 | 0.585 | 8.0e-5 | 62.48 | 106.8 |
| 100 | 23.96 | 38.65 | 7.751 | 0.62 | 1.6e-4 | 66.17 | 106.8 |
| 150 | 37.11 | 57.98 | 11.63 | 0.64 | 2.4e-4 | 68.34 | 106.8 |
| 200 | 50.58 | 77.3 | 15.5 | 0.654 | 3.2e-4 | 69.87 | 106.8 |
| 300 | 78.22 | 116 | 23.25 | 0.675 | 4.8e-4 | 72.03 | 106.8 |
| 500 | 135.3 | 193.3 | 38.76 | 0.7 | 8.0e-4 | 74.75 | 106.8 |
| 1000 | 284 | 386.5 | 77.51 | 0.735 | 1.6e-3 | 78.44 | 106.8 |
Method: PDG review Passage of particles through matter (Bethe formula, Landau most probable value). Constants: NIST ESTAR silicon (I = 173 eV, ρ = 2.33 g/cm³), CODATA, PDG masses. Pair-creation energy w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature) is not an ESTAR/XCOM quantity and is typed directly in the engine.
Minimum ionisation by material
The minimum of the mean rate ⟨−dE/dx⟩ for a singly charged heavy particle, and the βγ at which it occurs.
| Material | ρ (g/cm³) | I (eV) | Z/A | βγ at minimum | ⟨−dE/dx⟩min (MeV cm²/g) | (keV/µm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Silicon | 2.33 | 173 | 0.4985 | 3.42 | 1.659 | 0.3865 |
| Germanium | 5.323 | 350 | 0.4408 | 3.26 | 1.372 | 0.7301 |
| Carbon (amorphous) | 2 | 81 | 0.4995 | 3.92 | 1.743 | 0.3486 |
| Aluminium | 2.699 | 166 | 0.4818 | 3.42 | 1.611 | 0.4347 |
| Iron | 7.874 | 286 | 0.4656 | 3.44 | 1.45 | 1.142 |
| Copper | 8.96 | 322 | 0.4564 | 3.42 | 1.402 | 1.257 |
| Tungsten | 19.3 | 727 | 0.4025 | 3.16 | 1.144 | 2.207 |
| Lead | 11.35 | 823 | 0.3958 | 3.02 | 1.121 | 1.273 |
| Argon (gas) | 0.001662 | 188 | 0.4506 | 3.16 | 1.519 | 2.524e-4 |
| Water | 1 | 75 | 0.5551 | 4 | 1.998 | 0.1998 |
| Air (dry, sea level) | 0.001205 | 85.7 | 0.4992 | 3.3 | 1.815 | 2.186e-4 |
| Plastic scintillator | 1.032 | 64.7 | 0.5414 | 4.04 | 1.956 | 0.2018 |
| Kapton | 1.42 | 79.6 | 0.5126 | 3.96 | 1.82 | 0.2584 |
| Silicon dioxide | 2.32 | 139.2 | 0.4993 | 3.64 | 1.697 | 0.3937 |
| Concrete (Portland) | 2.3 | 135.2 | 0.5027 | 3.66 | 1.711 | 0.3936 |
| Bone (compact, ICRU) | 1.85 | 91.9 | 0.5301 | 3.92 | 1.849 | 0.3421 |
| Soft tissue (ICRP) | 1 | 72.3 | 0.5512 | 4.02 | 1.985 | 0.1985 |
Bethe formula with the NIST ESTAR density-effect correction; no shell or Barkas terms. Material constants: NIST ESTAR (SRD 124). Checked against NIST PSTAR to within 1% (50 MeV – 10 GeV protons).
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Électrons de recul : d’où vient la queue
La fluctuation de Landau est principalement due à l’occurrence, rare mais mesurable, d’électrons de recul, qui gagnent assez d’énergie lors du contact pour devenir eux-mêmes des particules ionisantes. La direction de l’électron de recul est souvent perpendiculaire à celle de la particule incidente, ce qui produit des nuages de charge irréguliers et réduit la résolution spatiale.
Les électrons de recul sont aussi appelés rayons delta. Ils sont rares, mais chacun emporte une part importante de l’énergie, et dans un capteur mince, un seul rayon delta peut dominer un événement entier. C’est la raison physique pour laquelle faire une moyenne est le mauvais réflexe : cela reviendrait à laisser quelques valeurs aberrantes fixer la calibration.
La propriété de convolution
La convolution de deux distributions de Landau donne une autre distribution de Landau. Cette propriété s’illustre par la perte d’énergie d’une particule traversant une couche d’épaisseur D, ou deux couches successives d’épaisseur D/2. La perte d’énergie totale doit être la même dans les deux cas, ce qui implique la propriété de convolution mentionnée plus haut.
Bien que la distribution de Landau ait une aire finie, il est impossible d’en calculer les valeurs moyennes à cause de sa queue infinie. Une solution proposée consiste à tronquer la queue de Landau, ce qui ferait perdre la propriété de convolution.
Les protons, les pions et les autres types de particules chargées, qui sont dans la plupart des cas proches du MIP, produisent tous des spectres approximativement distribués selon Landau lorsqu’ils traversent la matière. Il existe plusieurs approximations ; la plus simple consiste à appliquer une fonction gaussienne si l’objectif est d’ajuster uniquement la valeur la plus probable (le pic).
Les premier et second moments Φ (1,x) et Φ (2, x) de la fonction de densité tronquée sur la queue de droite peuvent être définis par la formule générale
Quand Landau s’applique — et les hypothèses sous-jacentes
Il est possible d’utiliser la fonction de Landau dans toutes les situations où k < 0,01 (où k est le rapport entre la perte d’énergie moyenne et l’énergie maximale transférable), sous les hypothèses suivantes :
- Le transfert d’énergie maximal est infini
- L’énergie de liaison des électrons lors d’une collision est négligeable, autrement dit les électrons impliqués dans les collisions sont traités comme libres et les collisions distantes sont ignorées
- La vitesse de la particule reste approximativement constante
- En ne retenant que le premier terme de la formule de Bethe-Bloch, la perte d’énergie moyenne est approximée par :
La distribution de Landau est alors donnée par :
r est une constante réelle arbitraire et la variable l vaut :
où CE est la constante d’Euler. La fonction φ(λ) est une fonction universelle qui doit être évaluée numériquement. Une table de valeurs pour différents λ se trouve dans certains articles. Un programme informatique a par ailleurs été développé et est disponible ici (code Matlab).
La perte d’énergie la plus probable
φ(λ) atteint son maximum pour un λ de 0,229, avec une largeur totale à mi-hauteur : WL=4,02ξ. La perte d’énergie correspondant au maximum de la fonction fL(x,Δ) est appelée la perte d’énergie la plus probable ( Δp).
Les valeurs antérieures de la constante 0,2000 étaient 0,37 [1] et 0,198 [3]. L’équation intègre l’effet de densité, que Landau n’avait pas pris en compte.
Pour γ >> 100, on obtient
Δp= ξ ( 12,325 + ln(ξ/I) )
En insérant la valeur de I, on obtient
Δp(keV) = t (0,1791 + 0,01782 lnt ) avec t en µm.
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Où Landau échoue : les absorbeurs très minces
Pour de faibles épaisseurs, Landau échoue à ajuster la distribution de perte d’énergie mesurée expérimentalement [2]. En effet, pour de faibles épaisseurs, Landau place le pic plus bas que ne le montre la distribution de perte d’énergie mesurée (Fig. 2(a)).
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Cela peut se comprendre qualitativement : pour des absorbeurs très minces, les électrons de la couche K ne contribuent pas à la perte d’énergie. L’épaisseur effective de l’absorbeur peut donc être considérée comme te=12/14 t. Pour t = 10 µm, te=8,57 µm.
La largeur totale à mi-hauteur de la fonction de Landau, w, dépend de l’épaisseur de l’absorbeur et ne dépend ni du type de particule ni de sa vitesse.
Jusqu’où peut-on aller ? Les hypothèses de Landau (transfert d’énergie illimité, électrons libres, collisions nombreuses) comptent à peine dans une plaque épaisse. Dans une plaquette de 300 µm, elles commencent à peser, et dans les capteurs de quelques dizaines de micromètres désormais courants, elles échouent franchement : il y a trop peu de collisions, et les énergies de liaison des couches atomiques du silicium déforment justement la région proche du pic. Pour 300 µm, ξ vaut environ 5,34 keV, donc la largeur propre de Landau, 4,02ξ, atteint environ 21 keV, alors que la largeur mesurée avoisine 25 keV. Même à 300 µm, la distribution ne prend une forme de Landau propre que pour des protons au-delà d’environ 550 MeV/c.
Après Landau : Vavilov et Bichsel
Piotr Vavilov généralisa la théorie en 1957 pour tenir compte du transfert d’énergie maximal fini, que Landau avait envoyé à l’infini. La distribution de Vavilov fait le lien entre la limite de Landau pour les absorbeurs épais et la limite gaussienne pour les absorbeurs minces. C’était un réel progrès, mais elle continue de traiter les électrons atomiques comme libres, alors que la liaison électronique est justement le problème qui compte le plus dans le silicium mince.
Hans Bichsel abandonna ces raccourcis. Il calcula la fonction de straggling à partir de la réponse diélectrique réelle du silicium, de ses sections efficaces de photoabsorption mesurées et de ses forces d’oscillateur généralisées, en incluant les corrections de couche atomique que Landau ignorait (voir l’analyse des corrections de couche). Son modèle reproduit les spectres mesurés dans le silicium là où Landau échoue, c’est pourquoi le Particle Data Group publie désormais des fonctions de straggling de Bichsel plutôt que la courbe brute de Landau. Les distributions mesurées, et la façon dont les corrections de liaison les élargissent, sont présentées dans la fonction de straggling.
Pourquoi cela compte de plus en plus chaque année
Les capteurs deviennent plus minces, pas plus épais. Les mises à niveau du LHC à haute luminosité, les capteurs à pixels actifs monolithiques CMOS et les couches de synchronisation intégrées à toutes les grandes expériences poussent vers un silicium dans la gamme 50 à 150 µm — exactement la zone où la courbe de Landau est la moins fiable.
La perte d’énergie par unité de longueur est un outil de base pour l’identification des particules, donc un pic prédit décalé de quelques keV entraîne avec lui la séparation d’identification et la calibration en énergie. Le matériel est en train d’être réinventé, comme je l’ai écrit dans l’évolution des capteurs au silicium pour les futurs collisionneurs, et la physique utilisée pour l’interpréter doit suivre le rythme. La courbe de Landau est là où l’histoire commence, pas où elle s’arrête.
Références
- L. Landau, On the Energy Loss of Fast Particles by Ionization, J. Phys. USSR 8 (1944) 201.
- Blunck and S. Leisegang, Zum Energieverlust schneller Elektronen in d nnen Schichten, Z. Physik 128 (1950) 500.
- Maccabee and Papworth (1969), quoted by Sternheimer and Peierls (1971); see, also, Ahlen (1980)
⚡ LE POINT DE VUE DE PHOTON
Chaque détecteur au silicium que j’ai calibré l’a été sur le pic, jamais sur la moyenne — et la raison tient à la forme de cette courbe. La queue de Landau n’a pas de borne supérieure, donc la moyenne est un nombre que la distribution refuse de donner. Amincissez le capteur et cela empire : le pic s’affine, la queue s’allonge, et l’écart entre ce qu’une particule dépose typiquement et ce qu’elle dépose en moyenne se creuse. Les ingénieurs qui dimensionnent une gamme dynamique à partir de Bethe-Bloch seul le découvrent au banc de test faisceau, un endroit coûteux pour le découvrir.
Pour l’aspect expérimental de tout cela — à quoi ressemblent réellement les distributions mesurées dans le silicium mince, et où la prédiction de Landau s’en écarte — c’est traité dans la fonction de straggling. Pour savoir ce que devient la charge libérée une fois qu’elle existe, voir la génération de porteurs de charge dans les semi-conducteurs.
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