Una particella carica che attraversa un sensore di silicio non deposita la quantità media di energia. Deposita quanto le concede una manciata di collisioni casuali — di solito meno della media, occasionalmente molto più. Progettare un chip di lettura basandosi sulla media porta a impostare la soglia in modo sbagliato in quasi ogni evento.
Questo è il contenuto pratico della distribuzione di Landau. La formula di Bethe-Bloch fornisce la perdita di energia media; Landau, nel 1944, ha mostrato quanto violentemente i singoli eventi si distribuiscano attorno a essa — e perché la media sia il numero sbagliato su cui progettare l’elettronica.
La formula di Bethe-Bloch è ampiamente riconosciuta per descrivere la perdita di energia media delle particelle cariche che attraversano la materia, mentre Landau descrisse teoricamente le fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione di una particella carica in un sottile strato di materia nel 1944 [1]. Questa descrizione porta alla distribuzione di Landau, una funzione di densità di probabilità universale e asimmetrica.
Perché il picco è più basso della media
In realtà, se una particella non si ferma nel sensore, la risposta si distribuisce attorno al picco della distribuzione, con un’alta probabilità di segnali intensi. Per effetto di questa coda, il valore medio supera il valore più probabile della distribuzione. La variazione attorno al massimo di questa distribuzione aumenta quanto più il sensore è sottile. Nel progettare il circuito di lettura di questi dispositivi, occorre tenere conto della gamma dinamica.
Reference tool
Energy-loss calculator: mean, most probable value and straggling
Your particle, your absorber. Mean rate from the Bethe formula with the density-effect correction, the most probable loss from the Landau theory as given in the PDG review, and the straggling curve for your case.
The calculator needs JavaScript. The reference values below are computed by the same code.
Method, constants and limits
Method. Mean rate: Bethe formula, ⟨−dE/dx⟩ = K z² (Z/A) β⁻² [ ½ ln(2mec²β²γ²Tmax/I²) − β² − δ/2 ], without shell or Barkas terms (they exceed a few percent only below βγ ≈ 0.1). Most probable loss: Δp = ξ [ ln(2mec²β²γ²/I) + ln(ξ/I) + 0.200 − β² − δ ], ξ = (K/2) z² (Z/A) x/β². Regime from κ = ξ/Tmax: Landau below 0.01, Vavilov to 10, Gaussian above. The Landau density is evaluated by direct quadrature of its defining integral, not an approximation. Both formulas and their notation follow the Particle Data Group review Passage of particles through matter.
Electron-hole pairs (silicon only). Pairs per micrometre = energy deposited per micrometre ÷ w, w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature, e.g. Knoll, Radiation Detection and Measurement). Two figures are reported, not one, because they answer different questions: the mean rate uses ⟨dE/dx⟩ and does not depend on thickness (≈108/µm for a minimum-ionising particle in silicon); the most probable rate uses Δp at the thickness entered above and does depend on it, because Δp is not linear in thickness — it is what a thin detector actually reads out on a single pass, the same Landau/straggling quantity this tool otherwise reports in keV. Quoting only the mean figure for a thin-detector signal is a common error this tool deliberately avoids.
Constants. I, density, Z/A and δ(βγ) per material from NIST ESTAR (SRD 124); K = 4πNAre²mec² and mec² from CODATA; particle masses from the PDG; w = 3.62 eV for silicon as above — not an ESTAR/XCOM quantity, typed directly in the engine with its source. The Bethe engine reproduces NIST PSTAR proton stopping powers to within 1% from 50 MeV to 10 GeV in every material offered; the deviations are on record in the repository tests.
Limits. Heavy charged particles only (no electrons). βγ from 0.1 to about 2×10⁴. Thin absorbers: when the mean loss exceeds 10% of the kinetic energy the constant-velocity assumption fails and the result says so. The e-h pair figures are silicon-only: no sourced w is offered for any other material.
Reference values: a minimum-ionising muon in silicon
Muon at βγ = 3.5 (369.8 MeV/c), where the mean rate in silicon is at its minimum. Computed by the calculator above. The last two columns are the e-h pair yield per micrometre (w = 3.62 eV): the most-probable column changes with thickness because Δp is not linear in x; the mean column does not.
| Thickness (µm) | Most probable loss Δp (keV) | Mean loss (keV) | FWHM (keV) | Δp / mean | κ | e-h pairs/µm (most probable) | e-h pairs/µm (mean) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 11.31 | 19.33 | 3.876 | 0.585 | 8.0e-5 | 62.48 | 106.8 |
| 100 | 23.96 | 38.65 | 7.751 | 0.62 | 1.6e-4 | 66.17 | 106.8 |
| 150 | 37.11 | 57.98 | 11.63 | 0.64 | 2.4e-4 | 68.34 | 106.8 |
| 200 | 50.58 | 77.3 | 15.5 | 0.654 | 3.2e-4 | 69.87 | 106.8 |
| 300 | 78.22 | 116 | 23.25 | 0.675 | 4.8e-4 | 72.03 | 106.8 |
| 500 | 135.3 | 193.3 | 38.76 | 0.7 | 8.0e-4 | 74.75 | 106.8 |
| 1000 | 284 | 386.5 | 77.51 | 0.735 | 1.6e-3 | 78.44 | 106.8 |
Method: PDG review Passage of particles through matter (Bethe formula, Landau most probable value). Constants: NIST ESTAR silicon (I = 173 eV, ρ = 2.33 g/cm³), CODATA, PDG masses. Pair-creation energy w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature) is not an ESTAR/XCOM quantity and is typed directly in the engine.
Minimum ionisation by material
The minimum of the mean rate ⟨−dE/dx⟩ for a singly charged heavy particle, and the βγ at which it occurs.
| Material | ρ (g/cm³) | I (eV) | Z/A | βγ at minimum | ⟨−dE/dx⟩min (MeV cm²/g) | (keV/µm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Silicon | 2.33 | 173 | 0.4985 | 3.42 | 1.659 | 0.3865 |
| Germanium | 5.323 | 350 | 0.4408 | 3.26 | 1.372 | 0.7301 |
| Carbon (amorphous) | 2 | 81 | 0.4995 | 3.92 | 1.743 | 0.3486 |
| Aluminium | 2.699 | 166 | 0.4818 | 3.42 | 1.611 | 0.4347 |
| Iron | 7.874 | 286 | 0.4656 | 3.44 | 1.45 | 1.142 |
| Copper | 8.96 | 322 | 0.4564 | 3.42 | 1.402 | 1.257 |
| Tungsten | 19.3 | 727 | 0.4025 | 3.16 | 1.144 | 2.207 |
| Lead | 11.35 | 823 | 0.3958 | 3.02 | 1.121 | 1.273 |
| Argon (gas) | 0.001662 | 188 | 0.4506 | 3.16 | 1.519 | 2.524e-4 |
| Water | 1 | 75 | 0.5551 | 4 | 1.998 | 0.1998 |
| Air (dry, sea level) | 0.001205 | 85.7 | 0.4992 | 3.3 | 1.815 | 2.186e-4 |
| Plastic scintillator | 1.032 | 64.7 | 0.5414 | 4.04 | 1.956 | 0.2018 |
| Kapton | 1.42 | 79.6 | 0.5126 | 3.96 | 1.82 | 0.2584 |
| Silicon dioxide | 2.32 | 139.2 | 0.4993 | 3.64 | 1.697 | 0.3937 |
| Concrete (Portland) | 2.3 | 135.2 | 0.5027 | 3.66 | 1.711 | 0.3936 |
| Bone (compact, ICRU) | 1.85 | 91.9 | 0.5301 | 3.92 | 1.849 | 0.3421 |
| Soft tissue (ICRP) | 1 | 72.3 | 0.5512 | 4.02 | 1.985 | 0.1985 |
Bethe formula with the NIST ESTAR density-effect correction; no shell or Barkas terms. Material constants: NIST ESTAR (SRD 124). Checked against NIST PSTAR to within 1% (50 MeV – 10 GeV protons).
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Elettroni di rinculo: da dove viene la coda
La fluttuazione di Landau è dovuta principalmente all’occorrenza non comune ma misurabile degli elettroni di rinculo, che acquisiscono dall’urto energia sufficiente a diventare a loro volta particelle ionizzanti. La direzione dell’elettrone di rinculo è spesso perpendicolare a quella della particella incidente, il che produce nubi di carica non uniformi e riduce la risoluzione spaziale.
La proprietà di convoluzione
La convoluzione di due distribuzioni di Landau produce un’altra distribuzione di Landau. Questa proprietà si può illustrare con la perdita di energia di una particella che attraversa uno strato di spessore D, oppure due strati successivi di spessore D/2. La perdita di energia complessiva deve essere la stessa nei due casi, il che implica la proprietà di convoluzione appena descritta.
Sebbene la distribuzione di Landau abbia un’area finita, è impossibile calcolarne i valori medi a causa della coda infinita. Un rimedio proposto è troncare la coda di Landau, il che farebbe però perdere la proprietà di convoluzione.
Protoni, pioni e altri tipi di particelle cariche, che nella maggior parte dei casi sono prossimi a MIP, producono tutti spettri distribuiti approssimativamente secondo Landau quando attraversano la materia. Esistono diverse approssimazioni; la più semplice consiste nell’applicare la funzione gaussiana se l’obiettivo è adattare soltanto il valore più probabile (il picco).
Il primo e il secondo momento Φ (1,x) e Φ (2, x) della funzione di densità troncata sulla coda destra si possono definire tramite la formula generale
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Quando si applica Landau — e le ipotesi che la sostengono
È possibile utilizzare la funzione di Landau in tutte le situazioni in cui k < 0,01 (dove k è il rapporto tra la perdita di energia media e l’energia massima trasferibile), con le seguenti ipotesi:
- Il trasferimento massimo di energia è infinito
- L’energia di legame dell’elettrone in una collisione è trascurabile; in altre parole, gli elettroni coinvolti nelle collisioni sono trattati come liberi e la collisione a lungo raggio viene ignorata
- La velocità della particella resta approssimativamente costante
- Considerando solo il primo termine della formula di Bethe-Bloch, la perdita di energia media si approssima a:
La distribuzione di Landau è quindi data da:
r è una costante reale arbitraria e la variabile l è:
dove CE è la costante di Euler. La funzione φ(λ) è una funzione universale che deve essere valutata numericamente. Una tabulazione per diversi valori di λ si trova in alcuni articoli. È stato inoltre sviluppato un programma di calcolo, disponibile qui (codice Matlab).
La perdita di energia più probabile
La φ(λ) ha un massimo per λ = 0,229 e una larghezza a metà altezza: WL=4,02ξ. La perdita di energia corrispondente al massimo della funzione fL(x,Δ) è chiamata perdita di energia più probabile ( Δp).
Valori precedenti per la costante 0,2000 erano 0,37 [1] e 0,198 [3]. L’equazione include l’effetto di densità, che non era stato utilizzato da Landau.
Per γ >> 100, si ottiene
Δp= ξ ( 12,325 + ln(ξ/I) )
Inserendo il valore di I, si ottiene
Δp(keV) = t (0,1791 + 0,01782 lnt ) con t in um.
Dove Landau non funziona: assorbitori molto sottili
Per piccoli spessori, la distribuzione di Landau non riesce ad adattarsi alla distribuzione sperimentale della perdita di energia [2]. Infatti, per piccoli spessori, Landau mostra una posizione del picco più bassa rispetto alla distribuzione della perdita di energia misurata (Fig. 2(a)).
 |  |
Si può comprendere qualitativamente così: per assorbitori molto sottili, gli elettroni della shell K non contribuiscono alla perdita di energia. Lo spessore efficace dell’assorbitore si può quindi considerare pari a te=12/14 t. Per t = 10 um, te=8,57 um.
La larghezza a metà altezza della funzione di Landau, w, dipende dallo spessore dell’assorbitore ed è indipendente dal tipo e dalla velocità della particella.
Riferimenti
- L. Landau, On the Energy Loss of Fast Particles by Ionization, J. Phys. USSR 8 (1944) 201.
- Blunck and S. Leisegang, Zum Energieverlust schneller Elektronen in d nnen Schichten, Z. Physik 128 (1950) 500.
- Maccabee and Papworth (1969), quoted by Sternheimer and Peierls (1971); see, also, Ahlen (1980)
⚡ IL PARERE DI PHOTON
Ogni rivelatore al silicio che ho calibrato è calibrato sul picco, mai sulla media — e il motivo sta nella forma di questa curva. La coda di Landau non ha un limite superiore, quindi la media è un numero che la distribuzione si rifiuta di darti. Se il sensore è più sottile la situazione peggiora: il picco si affila, la coda si allunga, e lo scarto tra ciò che una particella deposita tipicamente e ciò che deposita in media si allarga. Gli ingegneri che dimensionano una gamma dinamica basandosi solo su Bethe-Bloch lo scoprono nel test su fascio, un posto costoso per scoprirlo.
Se cerchi il lato sperimentale della questione — come sono davvero le distribuzioni misurate nel silicio sottile, e dove la previsione di Landau si allontana da esse — questo è trattato in la funzione di straggling. Per ciò che succede alla carica liberata una volta che esiste, vedi la generazione di portatori di carica nei semiconduttori.
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