La funzione di straggling e la distribuzione della perdita di energia nel silicio

La natura statistica del processo di ionizzazione durante il passaggio di una particella carica veloce attraverso la materia produce grandi fluttuazioni nella perdita di energia (Δ) negli assorbitori, il cui spessore è sottile rispetto al range della particella.

Il numero di coppie elettrone-lacuna (J) è legato a Δ dall’espressione J=Δ/P, dove P è un fattore di proporzionalità che per il silicio vale 3,68 eV. Sia Δ sia J sono grandezze stocastiche. Le funzioni di probabilità f(Δ) e φ(J) sono generalmente chiamate distribuzione della perdita di energia o funzioni di straggling.

Possono essere descritte schematicamente dalla posizione del massimo della funzione di distribuzione (Δp) e dalla larghezza a metà altezza (w), con Δp collocato a un valore più basso rispetto alla perdita di energia media ottenuta dalla formula di Bethe-Bloch ‹Δ› (Fig.1).

(clicca qui per scaricare il calcolatore Bethe-Bloch in C++).

Landau e Vavilov hanno svolto calcoli teorici su questa distribuzione. Ciascuna di queste soluzioni, tuttavia, ha una diversa regione di applicabilità, e il parametro distintivo in tutte queste teorie è il rapporto k = ‹Δ› / E_max dove E_max è l’energia massima trasferibile in una singola collisione.

Landau risolse questo problema per tutte le situazioni in cui k ≤ 0,01, ricavando la distribuzione attesa della perdita di energia risolvendo un’equazione di trasporto integrale:

Qui f(x,Δ) rappresenta la probabilità di distribuzione che la particella incidente perda una quantità Δ di energia attraversando uno strato di spessore x. W(E)dE indica la probabilità, per unità di lunghezza di percorso, che una collisione trasferisca un’energia E a un elettrone del materiale.

La funzione W(E)dE non è generalmente nota, ma Landau riuscì a ricavare una soluzione approssimata utilizzando la sezione d’urto dell’elettrone libero (Rutherford):

con

keV μm-1 nel silicio.

Nell’equazione precedente, z è la carica della particella incidente, Z e A sono il numero atomico e il peso atomico del materiale, e ρ è la densità. La distribuzione di Landau è quindi data da [1]

con φ(λ) funzione universale della sola variabile λ

e

dove C_E è la costante di Euler, pari a 0,5772. La distribuzione di Landau, fL(Δ), è asimmetrica, con una coda che si estende fino a Emax, con un massimo per λ=-0,229 e w=4,018ξ. Questa coda è dovuta principalmente ai raggi δ emessi velocemente. La perdita di energia corrispondente al massimo della funzione fL(Δ) è la perdita di energia più probabile [2]

dove I è il potenziale medio di eccitazione e δ è la correzione di densità. (clicca qui per scaricare il Landau Fit in Matlab)

Successivamente, Vavilov [3] ricavò una soluzione migliorata che tiene conto dello spin della particella incidente e introduce i limiti fisici derivanti da Emax. Per la sezione d’urto di collisione, Vavilov utilizzò la forma

Vavilov dimostrò inoltre che la sua soluzione tende alla funzione di Landau per k ≤ 0,01, regione in cui ‹Δ› si approssima a ξ. Ad esempio, per rivelatori al silicio da 300 um, la convergenza è già raggiunta da protoni con quantità di moto superiori a 550 MeV/c. Per k > 10, il numero di collisioni è molto elevato e, per il teorema del limite centrale, la funzione di Vavilov coincide con la distribuzione gaussiana, la cui deviazione standard è

Le soluzioni di Landau-Vavilov sono state ricavate nell’ipotesi che gli urti avvengano su elettroni quasi liberi. Di conseguenza, trascurano le energie di legame degli elettroni. Questa ipotesi è un’approssimazione valida solo per collisioni ravvicinate.

Ulteriori correzioni alla teoria, che tengono conto del fatto che gli elettroni nel materiale non sono liberi, sono state tentate da Blunck e Leisegang [4], Shulek [5] e Bichsel [6].

Nel caso dei mezzi solidi, questi calcoli sono rivolti all’osservazione sperimentale secondo cui, mentre la perdita di energia più probabile concorda abbastanza bene con la previsione della teoria, la larghezza della distribuzione è maggiore del previsto e non può essere spiegata dal rumore elettronico o da una risoluzione imperfetta. L’effetto è particolarmente evidente per assorbitori molto sottili [7], dell’ordine di poche centinaia di μm o meno. La distribuzione della perdita di energia modificata può essere migliorata utilizzando una sezione d’urto modificata che tenga conto dell’energia di legame degli elettroni e della struttura a gusci atomici. La funzione di straggling dell’energia modificata può essere espressa come:

In altre parole, lo spettro di energia osservato sperimentalmente può essere calcolato convolvendo la distribuzione di Landau con una distribuzione normale di varianza δ2. Il risultato della convoluzione è una distribuzione più larga, con un valore di picco che di norma risulta leggermente più alto rispetto alla teoria di Landau. Dalle osservazioni sperimentali, il valore di δ2 è stato stimato:

dove f_i è la frazione di elettroni in quel guscio. Nel silicio, questo valore si avvicina a

La distribuzione della perdita di energia migliorata risultante ha un valore complessivo di w, dato approssimativamente da:

√[(4,018 ξ )^{^2} + ( 5,56 δ₂ )]

Al diminuire dello spessore del materiale, δ2 diventa sempre più il termine dominante, che determina la larghezza w complessiva della funzione di straggling. Al contrario, non ci si aspetta che fornisca un ulteriore allargamento della distribuzione per spessori elevati.

Ad esempio, in un rivelatore al silicio spesso 300 μm, si ottiene ξ ~ 5,34 keV, √(δ₂) ~ 5,76 keV, e un valore complessivo di w pari a 25,4 keV (cioè il 18% in più rispetto alla larghezza di Landau) per una particella relativistica con β~ 1 e z = 1, in accordo con i dati sperimentali.

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Riferimenti

1. L. Landau , On the Energy Loss of Fast Particles by Ionization, J. Phys. USSR 8 (1944) 201.
2. Particle Data Group PDG, Passage of particles through matter, Nuclear and Particle Physics, vol. 33, no. 27, pp. 258-270, July 2006.
3. P.V.Vavilov, Ionization losses of high energy heavy particles, Soviet Physics JETP, 5:749, 1957.
4. S. Meroli et al., Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers , JINST, 6 P06013 doi: 10.1088/1748-0221/6/06/P06013
5. Blunck and S. Leisegang, Zum Energieverlust schneller Elektronen in d�nnen Schichten, Z. Physik 128 (1950) 500.
6. P. Shulek at al., Fluctuations of Ionization Loss, Sov. J. Nucl. Phys 4 (1967) 400.
7. H. Bichsel, Straggling of Heavy Charged Particles: Comparison of Born Hydrogenic-Wave-Function Approximation with Free-Electron Approximation, Phys. Rev. B1 (1970) 2854
8. H. Esbensen at al., Random and channeled energy loss in thin germanium and silicon crystals for positive and negative 2-15-GeV/c pions, kaons, and protons, Phys. Rev. B18 (1978) 103939

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