Questo calcolatore è lo stesso strumento — stesso motore, stesse tabelle — incorporato in due nostri articoli sulla perdita di energia delle particelle cariche nella materia. Si indicano una particella, la sua quantità di moto, un materiale assorbitore e uno spessore; lo strumento restituisce la perdita di energia media secondo la formula di Bethe, la perdita più probabile secondo la teoria di Landau (nella forma data dalla rassegna del Particle Data Group), la distribuzione di straggling per quel caso e, nel silicio, il numero di coppie elettrone-lacuna generate per micrometro. L’interfaccia — le etichette dei campi, le unità di misura, i pulsanti — è in inglese: il testo qui sotto la spiega in italiano.
Reference tool
Energy-loss calculator: mean, most probable value and straggling
Your particle, your absorber. Mean rate from the Bethe formula with the density-effect correction, the most probable loss from the Landau theory as given in the PDG review, and the straggling curve for your case.
The calculator needs JavaScript. The reference values below are computed by the same code.
Method, constants and limits
Method. Mean rate: Bethe formula, ⟨−dE/dx⟩ = K z² (Z/A) β⁻² [ ½ ln(2mec²β²γ²Tmax/I²) − β² − δ/2 ], without shell or Barkas terms (they exceed a few percent only below βγ ≈ 0.1). Most probable loss: Δp = ξ [ ln(2mec²β²γ²/I) + ln(ξ/I) + 0.200 − β² − δ ], ξ = (K/2) z² (Z/A) x/β². Regime from κ = ξ/Tmax: Landau below 0.01, Vavilov to 10, Gaussian above. The Landau density is evaluated by direct quadrature of its defining integral, not an approximation. Both formulas and their notation follow the Particle Data Group review Passage of particles through matter.
Electron-hole pairs (silicon only). Pairs per micrometre = energy deposited per micrometre ÷ w, w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature, e.g. Knoll, Radiation Detection and Measurement). Two figures are reported, not one, because they answer different questions: the mean rate uses ⟨dE/dx⟩ and does not depend on thickness (≈108/µm for a minimum-ionising particle in silicon); the most probable rate uses Δp at the thickness entered above and does depend on it, because Δp is not linear in thickness — it is what a thin detector actually reads out on a single pass, the same Landau/straggling quantity this tool otherwise reports in keV. Quoting only the mean figure for a thin-detector signal is a common error this tool deliberately avoids.
Constants. I, density, Z/A and δ(βγ) per material from NIST ESTAR (SRD 124); K = 4πNAre²mec² and mec² from CODATA; particle masses from the PDG; w = 3.62 eV for silicon as above — not an ESTAR/XCOM quantity, typed directly in the engine with its source. The Bethe engine reproduces NIST PSTAR proton stopping powers to within 1% from 50 MeV to 10 GeV in every material offered; the deviations are on record in the repository tests.
Limits. Heavy charged particles only (no electrons). βγ from 0.1 to about 2×10⁴. Thin absorbers: when the mean loss exceeds 10% of the kinetic energy the constant-velocity assumption fails and the result says so. The e-h pair figures are silicon-only: no sourced w is offered for any other material.
Reference values: a minimum-ionising muon in silicon
Muon at βγ = 3.5 (369.8 MeV/c), where the mean rate in silicon is at its minimum. Computed by the calculator above. The last two columns are the e-h pair yield per micrometre (w = 3.62 eV): the most-probable column changes with thickness because Δp is not linear in x; the mean column does not.
| Thickness (µm) | Most probable loss Δp (keV) | Mean loss (keV) | FWHM (keV) | Δp / mean | κ | e-h pairs/µm (most probable) | e-h pairs/µm (mean) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 11.31 | 19.33 | 3.876 | 0.585 | 8.0e-5 | 62.48 | 106.8 |
| 100 | 23.96 | 38.65 | 7.751 | 0.62 | 1.6e-4 | 66.17 | 106.8 |
| 150 | 37.11 | 57.98 | 11.63 | 0.64 | 2.4e-4 | 68.34 | 106.8 |
| 200 | 50.58 | 77.3 | 15.5 | 0.654 | 3.2e-4 | 69.87 | 106.8 |
| 300 | 78.22 | 116 | 23.25 | 0.675 | 4.8e-4 | 72.03 | 106.8 |
| 500 | 135.3 | 193.3 | 38.76 | 0.7 | 8.0e-4 | 74.75 | 106.8 |
| 1000 | 284 | 386.5 | 77.51 | 0.735 | 1.6e-3 | 78.44 | 106.8 |
Method: PDG review Passage of particles through matter (Bethe formula, Landau most probable value). Constants: NIST ESTAR silicon (I = 173 eV, ρ = 2.33 g/cm³), CODATA, PDG masses. Pair-creation energy w = 3.62 eV (silicon, room temperature; PDG review / silicon-detector literature) is not an ESTAR/XCOM quantity and is typed directly in the engine.
Minimum ionisation by material
The minimum of the mean rate ⟨−dE/dx⟩ for a singly charged heavy particle, and the βγ at which it occurs.
| Material | ρ (g/cm³) | I (eV) | Z/A | βγ at minimum | ⟨−dE/dx⟩min (MeV cm²/g) | (keV/µm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Silicon | 2.33 | 173 | 0.4985 | 3.42 | 1.659 | 0.3865 |
| Germanium | 5.323 | 350 | 0.4408 | 3.26 | 1.372 | 0.7301 |
| Carbon (amorphous) | 2 | 81 | 0.4995 | 3.92 | 1.743 | 0.3486 |
| Aluminium | 2.699 | 166 | 0.4818 | 3.42 | 1.611 | 0.4347 |
| Iron | 7.874 | 286 | 0.4656 | 3.44 | 1.45 | 1.142 |
| Copper | 8.96 | 322 | 0.4564 | 3.42 | 1.402 | 1.257 |
| Tungsten | 19.3 | 727 | 0.4025 | 3.16 | 1.144 | 2.207 |
| Lead | 11.35 | 823 | 0.3958 | 3.02 | 1.121 | 1.273 |
| Argon (gas) | 0.001662 | 188 | 0.4506 | 3.16 | 1.519 | 2.524e-4 |
| Water | 1 | 75 | 0.5551 | 4 | 1.998 | 0.1998 |
| Air (dry, sea level) | 0.001205 | 85.7 | 0.4992 | 3.3 | 1.815 | 2.186e-4 |
| Plastic scintillator | 1.032 | 64.7 | 0.5414 | 4.04 | 1.956 | 0.2018 |
| Kapton | 1.42 | 79.6 | 0.5126 | 3.96 | 1.82 | 0.2584 |
| Silicon dioxide | 2.32 | 139.2 | 0.4993 | 3.64 | 1.697 | 0.3937 |
| Concrete (Portland) | 2.3 | 135.2 | 0.5027 | 3.66 | 1.711 | 0.3936 |
| Bone (compact, ICRU) | 1.85 | 91.9 | 0.5301 | 3.92 | 1.849 | 0.3421 |
| Soft tissue (ICRP) | 1 | 72.3 | 0.5512 | 4.02 | 1.985 | 0.1985 |
Bethe formula with the NIST ESTAR density-effect correction; no shell or Barkas terms. Material constants: NIST ESTAR (SRD 124). Checked against NIST PSTAR to within 1% (50 MeV – 10 GeV protons).
Un esempio concreto
Impostate particella «muon», quantità di moto 370 MeV/c — la condizione convenzionale di particella al minimo di ionizzazione, βγ = 3,5 — assorbitore «Silicon» e spessore 300 micrometri: lo spessore tipico di un sensore a microstrisce nei rivelatori di particelle, ed è il caso trattato nei due articoli collegati più sotto. Lo strumento riporta una perdita di energia media di circa 116 keV, ma una perdita più probabile di soli 78 keV: la distribuzione di Landau ha una lunga coda verso le perdite alte, che sposta la media ben oltre il valore più frequente — per questo un rivelatore al silicio si progetta intorno al valore più probabile, non alla media. Nello stesso spessore lo strumento calcola in media 107 coppie elettrone-lacuna per micrometro, 72 al valore più probabile: è il segnale elettrico che il rivelatore misura davvero.
I limiti
Il calcolo usa la formula di Bethe senza le correzioni di shell o di Barkas, quindi vale solo sopra una soglia minima di βγ, che lo strumento segnala se la si scende sotto; alle energie molto relativistiche che escono dalla tabella dell’effetto densità restituisce un valore mancante piuttosto che uno sbagliato. La resa in coppie elettrone-lacuna vale solo per il silicio, a temperatura ambiente convenzionale (3,62 eV per coppia): non è tabulata per altri materiali. Ogni cifra riportata viene dalle tabelle NIST e PDG incorporate nello strumento, non da una stima fatta qui.
Utilizzato in
Questo calcolatore è incorporato, con lo stesso motore e gli stessi numeri, in due articoli — entrambi in italiano: La distribuzione di Landau e la perdita di energia delle particelle ionizzanti, che spiega da dove viene la perdita più probabile, e La funzione di straggling e la distribuzione della perdita di energia nel silicio, che ripercorre il caso del rivelatore al silicio su cui sono costruite le cifre delle coppie elettrone-lacuna di questa pagina. Leggeteli per la fisica; usate questa pagina per lo strumento nudo e un link da condividere su un risultato preciso.