Formule de Bethe-Bloch : comment les particules chargées perdent leur énergie

Points clés

• La formule de Bethe-Bloch donne l’énergie moyenne qu’une particule chargée rapide perd par unité de trajet dans la matière. Le Particle Data Group (PDG) l’appelle équation de Bethe et indique qu’elle vaut pour βγ d’environ 0,1 à 1000, avec une précision de quelques pour cent.
• Le pouvoir d’arrêt décroît à peu près comme 1/β² à basse vitesse, atteint un large minimum près de βγ entre 3 et 3,5, puis remonte lentement dans la remontée relativiste.
• Une particule au minimum d’ionisation dans le silicium perd 1,664 MeV cm²/g, soit 3,876 MeV/cm. Une couche de 300 µm absorbe en moyenne environ 116 keV.
• La perte la plus probable dans cette couche est plus basse, environ 84 keV, car quelques collisions rares et violentes tirent la moyenne vers le haut. C’est pourquoi les concepteurs de détecteurs citent la valeur la plus probable.
• Sous βγ d’environ 0,1, la formule demande les corrections de couche, de Barkas et de Bloch. Les électrons et les positons relèvent d’un traitement distinct.

La formule de Bethe-Bloch indique quelle énergie une particule chargée rapide dépose par centimètre de matériau. Pour un muon au minimum de perte d’énergie dans le silicium, la réponse est 1,664 MeV cm²/g, soit 3,876 MeV/cm. Dans un capteur en silicium de 300 µm, cela fait en moyenne 116 keV, mais le dépôt le plus probable est proche de 84 keV, soit environ 23 000 paires électron-trou.

Cette page est le point de référence de nos articles de physique des détecteurs. Elle pose la formule, chaque symbole, la forme de la courbe et ses limites, puis déroule un exemple complet. La dispersion des événements individuels autour de la moyenne est traitée dans notre guide sur la distribution de Landau et dans l’article sur le straggling en énergie dans le silicium.

La formule et le rôle de chaque terme

Le chapitre du PDG sur le passage des particules dans la matière écrit le pouvoir d’arrêt massique moyen sous la forme de l’Éq. 34.5 (PDG Review of Particle Physics, 2024, section 34). En texte brut, elle se lit ainsi.

-dE/dx = K z² (Z/A) (1/β²) [ ½ ln( 2 mec² β²γ² Wmax / I² ) - β² - δ(βγ)/2 ]

Le résultat est en MeV cm²/g. Multiplié par la masse volumique en g/cm³, il donne la perte linéique en MeV/cm. Le préfacteur fixe l’échelle, le terme 1/β² commande la baisse à basse vitesse et le logarithme commande la remontée à haute vitesse.

Le PDG donne W_max pour une particule lourde comme 2m_ec²β²γ², divisé par 1 + 2γm_e/M + (m_e/M)². Il ajoute que négliger ce dénominateur, comme le font les textes plus anciens, peut produire une erreur de plus de 6 pour cent pour un pion dans le cuivre à 100 GeV.

La forme de la courbe : baisse, minimum et remontée

Le PDG décrit trois régimes. À basse vitesse, le pouvoir d’arrêt décroît avec un exposant compris entre 1,7 et 1,5, un peu plus lentement qu’un pur 1/β² parce que le logarithme croît aussi. Il atteint un large minimum, puis remonte. Le minimum se situe à βγ d’environ 3,5 pour Z = 7 et 3,0 pour Z = 100.

Les particules proches de ce minimum sont dites au minimum d’ionisation, en anglais minimum-ionising particles ou mips. Le PDG cite les muons des rayons cosmiques comme exemple type. Le tableau ci-dessous montre toute la forme pour des muons dans le silicium, tirée de la table PDG de perte d’énergie des muons dans le silicium.

Entre 20 MeV et le minimum, la perte baisse de plus de moitié. Du minimum à 1 GeV, elle ne monte que de 8 pour cent. Le PDG attribue environ deux tiers de cette remontée au terme explicite β²γ² dans le logarithme. Le dernier tiers vient de W_max, qui continue de croître et fait entrer dans la moyenne les collisions rares et violentes.

Ces collisions rares comptent. Le PDG prévient que la moyenne est pondérée par les événements isolés à grande perte, si bien que la perte la plus probable dans un détecteur réel se situe bien sous la valeur de Bethe. Pour des muons traversant 0,64 cm de scintillateur plastique, il donne le rapport entre la perte la plus probable et la perte moyenne : 0,69, 0,57, 0,49, 0,42 et 0,38 à 0,01, 0,1, 1, 10 et 100 GeV.

Pourquoi les particules lourdes s’arrêtent d’un coup : le pic de Bragg

Un proton ou un ion qui ralentit dans la matière remonte le côté gauche de cette même courbe. Le terme 1/β² croît quand la vitesse baisse, si bien que la particule dépose l’essentiel de son énergie sur la dernière partie de son trajet. Ce maximum net avant l’arrêt est le pic de Bragg. Robert Wilson a publié en 1946 les arguments en faveur de protons rapides en radiologie, et la protonthérapie utilise ce pic pour placer la dose à l’intérieur d’une tumeur.

Le tableau évalue l’Éq. 34.5 pour des protons dans l’eau liquide, avec I = 79,7 eV et Z/A = 10/18,015 = 0,5551. Aucune correction de couche ni de Barkas n’est appliquée, ce qui reste dans le domaine de validité du PDG jusqu’à 10 MeV.

Un proton de 10 MeV perd son énergie 8,4 fois plus vite qu’un proton de 150 MeV dans la même eau. La particule dépense ses derniers MeV sur une distance très courte, et la dose culmine. À énergie bien plus basse, la courbe finit par redescendre. Le PDG tabule un maximum près de 120 keV pour des protons dans le cuivre.

Exemple détaillé : une particule au minimum d’ionisation dans 300 µm de silicium

Les capteurs en silicium des détecteurs de traces ont typiquement une épaisseur de quelques centaines de micromètres, comme dans notre panorama des capteurs à pixels en silicium. Le tableau déroule le calcul pour une couche de 300 µm, étape par étape. Chaque donnée d’entrée vient de la page PDG des propriétés atomiques et nucléaires du silicium ou des chapitres du PDG, et chaque résultat est notre calcul.

Les deux valeurs les plus probables diffèrent d’environ 6 pour cent. Le chapitre PDG sur les détecteurs donne 3,7 fC, soit 23 000 électrons, pour une particule au minimum d’ionisation dans 300 µm de silicium (PDG section 35, détecteurs de particules). La simple expression de Landau-Vavilov du chapitre sur le passage dans la matière donne une valeur un peu plus basse. Le PDG note aussi que la prise en compte de la résolution expérimentale déplace en général le pic mesuré vers le haut. Nous retenons la charge du PDG comme valeur principale et montrons à côté le résultat de la formule.

Le décompte des paires utilise 3,65 eV par paire, la moyenne du PDG à température ambiante. La bande interdite n’est que de 1,12 eV. Les phonons absorbent une part de l’énergie, si bien que le coût moyen par paire vaut environ trois fois la bande interdite. Vous pouvez faire ce calcul pour votre propre particule et votre propre matériau dans le calculateur de perte d’énergie Bethe-Bloch de ScienceShot. Il donne la perte moyenne, la perte la plus probable de Landau et le straggling pour 16 matériaux.

Ionisation minimale dans les matériaux courants

Par gramme, les pertes au minimum d’ionisation varient peu d’un matériau à l’autre. Par centimètre, elles diffèrent beaucoup, car la masse volumique fait l’essentiel du travail. Le PDG montre la valeur massique qui baisse lentement avec le numéro atomique.

Le plomb mérite un second regard. Son pouvoir d’arrêt massique ne vaut que 57 pour cent de celui de l’eau, mais sa masse volumique est plus de onze fois supérieure. Chaque centimètre de plomb retire donc 12,74 MeV contre 1,98 MeV pour l’eau, soit un rapport de 6,4.

Là où la formule cesse de fonctionner

• Au-dessus de βγ d’environ 1000, les pertes radiatives commencent à compter, et le pouvoir d’arrêt n’est plus une fonction de βγ seul (PDG, section 34.2.3).
• Sous βγ d’environ 0,1, la vitesse du projectile approche celle des électrons atomiques. L’ajout des termes de couche, de Barkas et de Bloch garde le traitement précis à environ 1 pour cent jusqu’à β de 0,05, ce qui correspond à environ 1 MeV pour des protons.
• Entre β de 0,01 et 0,05, le PDG indique qu’il n’existe pas de théorie satisfaisante et que l’on emploie des formules ajustées. Sous environ 0,01, la description de Lindhard du pouvoir d’arrêt électronique prend le relais.
• Les ions lourds exigent des termes supplémentaires pour le couplage d’ordre supérieur et la taille finie de la cible. Ceux-ci peuvent modifier la perte d’un facteur deux ou plus pour les noyaux les plus lourds.
• Les électrons et les positons forment un cas à part. Le PDG leur consacre une section propre, car l’électron incident est identique à l’électron cible dans la diffusion de Møller et le transfert d’énergie maximal est différent.

Les absorbeurs minces posent un problème de plus. Quelques collisions ne peuvent pas se moyenner, la distribution réelle est donc asymétrique et un événement isolé peut s’écarter beaucoup de la moyenne. C’est le sujet des articles sur Landau et sur le straggling cités plus haut.

Les muons des rayons cosmiques sont une source commode de particules au minimum d’ionisation pour tester des capteurs. Les rayons cosmiques sont aussi un danger pour l’électronique, comme nous le décrivons dans notre article sur les rayons cosmiques et la corruption silencieuse des données.

Qui a écrit la formule, et quand

Hans Bethe a établi la formule quantique du pouvoir d’arrêt en 1930, avec l’approximation de Born. Felix Bloch l’a étendue en 1933 par une correction pour les particules plus lentes. Le tableau donne les références.

Les manuels réunissent les deux noms. Le PDG lui-même dit équation de Bethe et appelle le terme à basse énergie la correction de Bloch.

Sources

• S. Navas et al. (Particle Data Group), Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 110, 030001 (2024), section 34, Passage of particles through matter
• Particle Data Group, Review of Particle Physics 2024, section 35, Particle detectors at accelerators (semiconductor detectors)
• PDG, Atomic and nuclear properties of silicon
• PDG, Muon energy loss table for silicon
• PDG, Atomic and nuclear properties of liquid argon
• PDG, Atomic and nuclear properties of liquid water
• PDG, Atomic and nuclear properties of polyvinyltoluene
• PDG, Atomic and nuclear properties of lead
• H. Bethe, Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie, Annalen der Physik 397, 325 (1930)
• H. Bethe, Bremsformel für Elektronen relativistischer Geschwindigkeit, Zeitschrift für Physik 76, 293 (1932)
• F. Bloch, Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie, Annalen der Physik 408, 285 (1933)
• R. R. Wilson, Radiological use of fast protons, Radiology 47, 487 (1946)