Formula di Bethe-Bloch: come le particelle cariche perdono energia

Punti chiave

• La formula di Bethe-Bloch dà l’energia media che una particella carica veloce perde per unità di percorso nella materia. Il Particle Data Group (PDG) la chiama equazione di Bethe e dice che vale per βγ da circa 0,1 a 1000, con un’accuratezza di pochi punti percentuali.
• Il potere frenante diminuisce all’incirca come 1/β² a bassa velocità, raggiunge un ampio minimo vicino a βγ tra 3 e 3,5 e poi risale lentamente nella cosiddetta risalita relativistica.
• Una particella al minimo di ionizzazione nel silicio perde 1,664 MeV cm²/g, cioè 3,876 MeV/cm. Uno strato di 300 µm assorbe in media circa 116 keV.
• La perdita più probabile in quello strato è più bassa, circa 84 keV, perché poche collisioni rare e violente spingono la media verso l’alto. Per questo chi progetta i rivelatori cita il valore più probabile.
• Sotto βγ di circa 0,1 la formula richiede le correzioni di shell, di Barkas e di Bloch. Elettroni e positroni vanno trattati a parte.

La formula di Bethe-Bloch dice quanta energia una particella carica veloce deposita per centimetro di materiale. Per un muone al minimo di perdita di energia nel silicio la risposta è 1,664 MeV cm²/g, ovvero 3,876 MeV/cm. In un sensore di silicio spesso 300 µm questo significa in media 116 keV, ma il deposito più probabile è vicino a 84 keV, cioè circa 23.000 coppie elettrone-lacuna.

Questa pagina è il punto di riferimento per i nostri articoli di fisica dei rivelatori. Presenta la formula, ogni simbolo, la forma della curva e i suoi limiti, poi svolge un esempio completo. La dispersione dei singoli eventi attorno alla media è trattata nella nostra guida alla distribuzione di Landau e nell’articolo sullo straggling dell’energia nel silicio.

La formula e il ruolo di ogni termine

Il capitolo del PDG sul passaggio delle particelle nella materia scrive il potere frenante di massa medio come Eq. 34.5 (PDG Review of Particle Physics, 2024, sezione 34). In testo semplice si legge così.

-dE/dx = K z² (Z/A) (1/β²) [ ½ ln( 2 mec² β²γ² Wmax / I² ) - β² - δ(βγ)/2 ]

Il risultato ha le unità MeV cm²/g. Moltiplicandolo per la densità in g/cm³ si ottiene la perdita lineare in MeV/cm. Il prefattore fissa la scala, il termine 1/β² guida la discesa a bassa velocità e il logaritmo guida la risalita ad alta velocità.

Il PDG dà W_max per una particella pesante come 2m_ec²β²γ², diviso per 1 + 2γm_e/M + (m_e/M)². Aggiunge che trascurare quel denominatore, come fanno i testi più vecchi, può dare un errore superiore al 6 percento per un pione nel rame a 100 GeV.

La forma della curva: discesa, minimo e risalita

Il PDG descrive tre regimi. A bassa velocità il potere frenante diminuisce con un esponente compreso tra 1,7 e 1,5, un po’ più lentamente di un puro 1/β² perché cresce anche il logaritmo. Raggiunge un ampio minimo e poi risale. Il minimo si trova a βγ di circa 3,5 per Z = 7 e 3,0 per Z = 100.

Le particelle vicine a quel minimo si dicono al minimo di ionizzazione, in inglese minimum-ionising particles o mip. Il PDG indica i muoni dei raggi cosmici come esempio standard. La tabella seguente mostra l’intera forma per i muoni nel silicio, ricavata dalla tabella PDG della perdita di energia dei muoni nel silicio.

Tra 20 MeV e il minimo la perdita scende di più della metà. Dal minimo a 1 GeV sale di appena l’8 percento. Il PDG attribuisce circa due terzi di questa risalita al termine esplicito β²γ² nel logaritmo. Il terzo restante viene da W_max, che continua a crescere e fa entrare nella media le collisioni rare e violente.

Quelle collisioni rare contano. Il PDG avverte che la media è pesata dai singoli eventi con grandi perdite, quindi la perdita più probabile in un rivelatore reale è ben sotto il valore di Bethe. Per muoni che attraversano 0,64 cm di scintillatore plastico indica il rapporto tra perdita più probabile e media come 0,69, 0,57, 0,49, 0,42 e 0,38 a 0,01, 0,1, 1, 10 e 100 GeV.

Perché le particelle pesanti si fermano di colpo: il picco di Bragg

Un protone o uno ione che rallenta nella materia risale il lato sinistro della stessa curva. Il termine 1/β² cresce al calare della velocità, quindi la particella deposita la maggior parte dell’energia nell’ultimo tratto del suo percorso. Questo massimo netto prima dell’arresto è il picco di Bragg. Robert Wilson pubblicò nel 1946 le ragioni per usare protoni veloci in radiologia, e la protonterapia sfrutta il picco per collocare la dose dentro un tumore.

La tabella valuta l’Eq. 34.5 per protoni in acqua liquida, con I = 79,7 eV e Z/A = 10/18,015 = 0,5551. Non si applica alcuna correzione di shell o di Barkas, il che resta entro il campo di validità del PDG fino a 10 MeV.

Un protone da 10 MeV perde energia 8,4 volte più in fretta di un protone da 150 MeV nella stessa acqua. La particella spende i suoi ultimi MeV in una distanza molto breve, quindi la dose ha un picco. A energie ancora più basse la curva torna infine a scendere. Il PDG riporta un massimo vicino a 120 keV per protoni nel rame.

Esempio svolto: una particella al minimo di ionizzazione in 300 µm di silicio

I sensori di silicio nei rivelatori di tracciamento hanno tipicamente uno spessore di qualche centinaio di micrometri, come nella nostra panoramica sui sensori a pixel di silicio. La tabella svolge un calcolo per uno strato di 300 µm passo dopo passo. Ogni dato di ingresso viene dalla pagina PDG delle proprietà atomiche e nucleari del silicio o dai capitoli del PDG, e ogni risultato è un nostro calcolo.

I due valori più probabili differiscono di circa il 6 percento. Il capitolo PDG sui rivelatori indica 3,7 fC, cioè 23.000 elettroni, per una particella al minimo di ionizzazione in 300 µm di silicio (PDG sezione 35, rivelatori di particelle). La semplice espressione di Landau-Vavilov del capitolo sul passaggio nella materia dà un valore un po’ più basso. Il PDG osserva anche che includere la risoluzione sperimentale di solito sposta più in alto il picco misurato. Usiamo la carica del PDG come valore principale e mostriamo accanto il risultato della formula.

Il conteggio delle coppie usa 3,65 eV per coppia, la media PDG a temperatura ambiente. La banda proibita è di soli 1,12 eV. I fononi assorbono parte dell’energia, quindi il costo medio per coppia è circa tre volte la banda proibita. Puoi eseguire questo calcolo per la tua particella e il tuo materiale nel calcolatore di perdita di energia Bethe-Bloch di ScienceShot. Riporta la perdita media, la perdita più probabile di Landau e lo straggling in 16 materiali.

Ionizzazione al minimo nei materiali comuni

Per grammo, le perdite al minimo di ionizzazione cambiano poco da un materiale all’altro. Per centimetro differiscono molto, perché la densità fa la maggior parte del lavoro. Il PDG mostra il valore di massa che scende lentamente con il numero atomico.

Il piombo merita una seconda occhiata. Il suo potere frenante di massa è solo il 57 percento di quello dell’acqua, ma la sua densità è più di undici volte superiore. Ogni centimetro di piombo toglie quindi 12,74 MeV contro 1,98 MeV dell’acqua, un rapporto di 6,4.

Dove la formula smette di funzionare

• Sopra βγ di circa 1000 cominciano a contare le perdite radiative, e il potere frenante non è più una funzione di βγ soltanto (PDG, sezione 34.2.3).
• Sotto βγ di circa 0,1 la velocità del proiettile si avvicina a quella degli elettroni atomici. Aggiungere i termini di shell, di Barkas e di Bloch mantiene il trattamento accurato a circa l’1 percento fino a β di 0,05, che corrisponde a circa 1 MeV per i protoni.
• Tra β di 0,01 e 0,05 il PDG dice che non esiste una teoria soddisfacente e si usano formule di fit. Sotto circa 0,01 subentra la descrizione di Lindhard del potere frenante elettronico.
• Gli ioni pesanti richiedono termini aggiuntivi per l’accoppiamento di ordine superiore e per le dimensioni finite del bersaglio. Possono cambiare la perdita di un fattore due o più per i nuclei più pesanti.
• Elettroni e positroni sono un caso a parte. Il PDG dedica loro una sezione propria, perché l’elettrone incidente è identico all’elettrone bersaglio nello scattering di Møller e il massimo trasferimento di energia è diverso.

Gli assorbitori sottili pongono un ulteriore problema. Poche collisioni non riescono a mediarsi, quindi la distribuzione reale è asimmetrica e un singolo evento può discostarsi molto dalla media. È il tema degli articoli su Landau e sullo straggling collegati sopra.

I muoni dei raggi cosmici sono una sorgente comoda di particelle al minimo di ionizzazione per collaudare i sensori. I raggi cosmici sono anche un rischio per l’elettronica, come descriviamo nel nostro articolo sui raggi cosmici e la corruzione silenziosa dei dati.

Chi ha scritto la formula, e quando

Hans Bethe ricavò la formula quantomeccanica del potere frenante nel 1930, usando l’approssimazione di Born. Felix Bloch la estese nel 1933 con una correzione per le particelle più lente. La tabella riporta i riferimenti.

I manuali uniscono i due nomi. Il PDG stesso dice equazione di Bethe e chiama il termine a bassa energia correzione di Bloch.

Fonti

• S. Navas et al. (Particle Data Group), Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 110, 030001 (2024), section 34, Passage of particles through matter
• Particle Data Group, Review of Particle Physics 2024, section 35, Particle detectors at accelerators (semiconductor detectors)
• PDG, Atomic and nuclear properties of silicon
• PDG, Muon energy loss table for silicon
• PDG, Atomic and nuclear properties of liquid argon
• PDG, Atomic and nuclear properties of liquid water
• PDG, Atomic and nuclear properties of polyvinyltoluene
• PDG, Atomic and nuclear properties of lead
• H. Bethe, Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie, Annalen der Physik 397, 325 (1930)
• H. Bethe, Bremsformel für Elektronen relativistischer Geschwindigkeit, Zeitschrift für Physik 76, 293 (1932)
• F. Bloch, Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie, Annalen der Physik 408, 285 (1933)
• R. R. Wilson, Radiological use of fast protons, Radiology 47, 487 (1946)