Grafene: proprietà elettriche, i valori misurati

In breve

• La mobilità dipende dall’ambiente più che dal grafene. I dispositivi su SiO2 stanno di solito intorno a 10.000 cm²/Vs, fogli sospesi hanno superato 200.000 a 5 K e il grafene nel nitruro di boro ha raggiunto 140.000 a temperatura ambiente.
• Il grafene comandato da gate nel nitruro di boro ha mostrato una resistenza di strato inferiore a circa 40 ohm per quadro a temperatura ambiente. I film CVD monostrato di grande area stanno intorno a 125 ohm per quadro.
• I portatori si muovono a circa 10⁶ m/s e non c’è band gap. La conducibilità scende a circa 4e²/h invece che a zero, e nelle misure del 2007 il rapporto on/off dei transistor è rimasto intorno a 100.
• Il grafene ha sopportato qualche 10⁸ A/cm² in una misura del 2007, di diversi ordini di grandezza oltre le interconnessioni attuali.
• Un gap si può aprire, ma piccolo. Circa 200 meV nei bistrati polarizzati e nei nastri di 15 nm, e circa 16 a 28 meV sul nitruro di boro allineato. Il silicio ne ha 1,12 eV.

Quali sono le proprietà elettriche del grafene, in numeri? I portatori si muovono a circa 10⁶ m/s e il band gap è nullo. La mobilità a temperatura ambiente va da circa 10.000 cm²/Vs su un chip di SiO2 comune a 140.000 cm²/Vs nel nitruro di boro, e la resistenza di strato può scendere sotto 40 ohm per quadro. Ogni valore qui sotto riporta il substrato, la temperatura e la densità di portatori della misura, perché una mobilità senza queste condizioni dice poco.

La mobilità è la velocità di deriva che un portatore guadagna per unità di campo elettrico. La resistenza di strato è la resistenza di un quadrato di film, qualunque sia la sua dimensione. Per una densità di portatori n, una mobilità μ e la carica elementare e, vale 1/(n e μ). Il nostro confronto tra grafene e silicio tratta la sfida nel suo insieme. Questa pagina è la tabella di riferimento che lo accompagna.

Proprietà elettriche del grafene: i valori misurati

Leggete la colonna delle condizioni prima del numero. Una mobilità di 200.000 cm²/Vs a 5 K nel vuoto non è la stessa affermazione di 100.000 a temperatura ambiente in una pila sigillata. Le temperature sono quelle indicate negli articoli. La sigla hBN indica il nitruro di boro esagonale.

Perché le mobilità coprono un fattore 100

Il grafene ha poco scattering intrinseco, quindi è l’ambiente a fissare la mobilità. Su SiO2 dominano le impurezze cariche e i fononi del substrato. Chen e colleghi hanno trovato che i soli fononi di superficie del SiO2 limitano la mobilità vicino a 40.000 cm²/Vs. I dispositivi reali stanno ben sotto.

Togliere il substrato ha aiutato. Nel campione 1 di Bolotin i portatori percorrono un cammino libero medio di circa 1,2 µm a n = 2×10¹¹ cm^-2. Un secondo studio su grafene sospeso ha mantenuto 120.000 cm²/Vs a 240 K. I suoi autori osservano che supera il miglior semiconduttore a temperatura ambiente che citano, InSb a 77.000.

La sospensione è fragile, quindi la strada pratica è l’hBN. Dean ha misurato circa 20.000 cm²/Vs su hBN e 2.000 su SiO2 nello stesso foglio. Mayorov ha poi sigillato il grafene tra due cristalli di hBN e ha visto circa 100.000 a temperatura ambiente, con trasporto balistico su circa 1 µm. Wang ha aggiunto contatti di bordo e ha raggiunto 140.000.

Serve una cautela. Queste mobilità record si leggono a bassa densità, vicino a 10¹¹ cm^-2 nel caso incapsulato. Il valore di Wang all’alta densità che dà 40 ohm per quadro è circa 40.000. Citare una mobilità senza la sua densità significa citare il caso migliore.

Resistenza di strato e conducibilità minima

Prendiamo n = 10¹² cm^-2. A 10.000 cm²/Vs la formula dà circa 620 ohm per quadro. A 200.000 dà circa 31 ohm, che coincide con il limite dei fononi di Chen. Sono nostri calcoli dai dati indicati.

La pila di Wang sotto gate è rimasta sotto circa 40 ohm per quadro. Moltiplicando per 0,35 nm, lo spessore usato da Moser, la resistività volumica equivalente è circa 14 nΩm. Il rame fa 16,78 nΩm a 20 °C. Wang scrive che la pila batte ogni metallo a temperatura ambiente. Il confronto richiede cautela, perché la pila contiene 4,5×10¹² cm^-2 portatori solo con la tensione di gate.

I film grandi raccontano una storia più modesta. Bae ha riportato un monostrato a circa 125 ohm per quadro con circa 97% di trasmittanza, contro circa 350 per il miglior valore monostrato precedente che citano. Un film di quattro strati drogato con acido nitrico ha raggiunto circa 30 ohm per quadro con circa 90% di trasparenza. Confrontano quel film con l’ossido di indio e stagno, sotto 100 ohm per quadro.

All’altro estremo, la conducibilità non sparisce quando sparisce la densità di portatori. Geim e Novoselov mostrano valori raccolti vicino a 4e²/h su quasi 50 dispositivi. Corrisponde a circa 6,45 kiloohm per quadro secondo il nostro calcolo. Il valore teorico 4e²/(πh) darebbe circa 20,3 kiloohm. Il disaccordo è diventato noto come «mistero della fetta mancante» (missing pie), e la loro rassegna ne lascia aperta la causa.

Cono di Dirac e velocità di Fermi

Vicino ai punti K del reticolo, l’energia del grafene cresce linearmente con l’impulso. Le due bande formano un cono con la punta a energia zero. I portatori si comportano come particelle senza massa, con una velocità della luce efficace di circa 10⁶ m/s. Castro Neto e colleghi la collocano vicino a 1/300 della vera velocità della luce.

Chen ne ricava una conseguenza. A causa della dispersione lineare, la resistività dovuta a diffusori isotropi, come i fononi acustici, non dipende dalla densità di portatori. Per questo il limite dei fononi nella tabella qui sopra è un numero unico.

Perché il grafene non ha uno stato spento, e come si apre un gap

Il canale di un transistor deve poter passare a corrente quasi nulla. Il grafene non ha gap, quindi continua a condurre al punto di neutralità. Geim e Novoselov segnalano rapporti on/off di circa 100 soltanto e definiscono il punto neutro metallico un problema serio per la logica corrente.

Tre strade aprono un gap. Nessuna raggiunge gli 1,12 eV del silicio.

Ogni strada ha un costo. Un bistrato polarizzato richiede un campo forte. Un nastro richiede bordi tagliati intorno a 10 nm, la larghezza che secondo Geim e Novoselov serve per funzionare a temperatura ambiente. L’hBN allineato dà un gap vicino all’energia termica, circa 25,9 meV a 300 K secondo il nostro calcolo.

Grafene a confronto con silicio, GaAs e rame

Questi confronti mescolano dispositivi e condizioni, quindi servono solo per orientarsi. I valori di silicio e GaAs vengono da un riferimento generale. I due gap e la mobilità del GaAs vi sono indicati a 300 K. La mobilità del silicio non ha temperatura né drogaggio indicati.

Le mobilità di silicio e GaAs vengono dalla pagina Wikipedia sulla mobilità degli elettroni e dalla pagina sul GaAs. I gap vengono dalle pagine silicio e GaAs. Sono fonti secondarie. Per vedere come circolano i portatori nel silicio, leggete il nostro articolo sui portatori di carica.

Cosa questi numeri non dicono

I valori record vengono da piccoli fogli fatti in laboratorio. Il materiale CVD su scala di fetta sta molto più in basso, come mostra la mobilità di Hall di 7.350 cm²/Vs che Bae ha misurato a circa 6 K. Temperature e densità cambiano da riga a riga, quindi nessuna coppia di righe è un confronto a parità di condizioni.

Le fonti qui vanno dal 2007 al 2013. Non abbiamo riletto i lavori più recenti sui gap, quindi la tabella dei gap può sottostimare ciò che ottengono i dispositivi recenti.

Fonti

• Geim e Novoselov, The rise of graphene, Nature Materials 6, 183 (2007)
• Castro Neto et al., The electronic properties of graphene, Reviews of Modern Physics 81, 109 (2009)
• Bolotin et al., Ultrahigh electron mobility in suspended graphene, Solid State Communications 146, 351 (2008)
• Bolotin et al., Temperature dependent transport in suspended graphene (2008)
• Chen et al., Intrinsic and extrinsic performance limits of graphene devices on SiO2, Nature Nanotechnology 3, 206 (2008)
• Dean et al., Boron nitride substrates for high-quality graphene electronics, Nature Nanotechnology 5, 722 (2010)
• Mayorov et al., Micrometer-scale ballistic transport in encapsulated graphene at room temperature, Nano Letters 11, 2396 (2011)
• Wang et al., One-dimensional electrical contact to a two-dimensional material, Science 342, 614 (2013)
• Moser, Barreiro e Bachtold, Current-induced cleaning of graphene, Applied Physics Letters 91, 163513 (2007)
• Bae et al., 30 inch roll-based production of high-quality graphene films for flexible transparent electrodes (preprint dell’articolo di Nature Nanotechnology, 2010)
• Mak et al., Observation of an electric-field induced band gap in bilayer graphene by infrared spectroscopy (2009)
• Han et al., Energy band-gap engineering of graphene nanoribbons, Physical Review Letters 98, 206805 (2007)
• Hunt et al., Massive Dirac fermions and Hofstadter butterfly in a van der Waals heterostructure, Science (2013)
• Wikipedia, Electron mobility (valori di silicio e GaAs, fonte secondaria)
• Wikipedia, Gallium arsenide (band gap e mobilità degli elettroni, fonte secondaria)
• Wikipedia, Silicon (band gap, fonte secondaria)
• Wikipedia, Copper (resistività a 20 °C, fonte secondaria)